T Test Penerimaan TV di Kota X

Artikel ini adalah elaborasi artikel sebelumnya yang berjudul:

T Test Independent Sample

Artikel ini juga merupakan rangkaian dari artikel berjudul Mengapa Sample Indonesia 1200, dimana pada bagian akhir artikel tersebut menyinggung sebuah survey di suatu kota dengan jumlah sample 9, dimana berdasarkan rumus Cochran, jumlah sample tsb terlalu sedikit. 

Sekarang kita coba terapkan teori dan rumus dalam artikel T Test Independent Sample sebelumnya terhadap case berikut ini. Tujuannya adalah untuk menguji apakah kemenangan TV M di Kota X tsb dapat dipastikan dengan T Test.

Case: Sebuah dilakukan survey di satu kota X, dengan 9 sample membandingkan kualitas penerimaan TV M vs TV S. 

Didapat data sbb:

Penerimaan TV M vs S di Kota X
No	M	S
1	100	100
2	83.75	59.5
3	100	100
4	100	100
5	69.5	66.25
6	100	100
7	100	100
8	100	100
9	100	100

Karena data tsb data kontinu maka cocok dilakukan t test. Ada dua opsi apakah paired t test, atau independent t test. Karena kualitas penerimaan M dan S tidak saling berkaitan, maka dipilih independent t test.

M	S	sM^2	sS^2
100	100	26.98	68.06
83.75	59.5	122.23	1040.06
100	100	26.98	68.06
100	100	26.98	68.06
69.5	66.25	640.37	650.25
100	100	26.98	68.06
100	100	26.98	68.06
100	100	26.98	68.06
100	100	26.98	68.06
94.81	91.75	118.93	270.84
ave_M	ave_S	s1^2	s2^2
9	9
nM	nS

t hitung = (ave_M - ave_S)/sqrt(sM^2/nM + sS^2/nS)
t hitung = (94.81 - 91.75)/sqrt(118.93/9 + 270.84/9)
t hitung	0.464

Case1 : M = S
t-hitung	0.464
t-tabel 2T	2.120	=t.inv.2t(0.05,(9+9-2))
H0	nilai M dan S tidak ada beda
H1	nilai M dan S ada beda
t hitung < t-table --> H0 gagal ditolak		Tidak cukup bukti menolak nilai M dan S itu beda
Case2: M > S
t-hitung	0.464
t-tabel 1T kanan	1.746	=t.inv(1-0.05,(9+9-2))
H0	nilai M <= S
H1	nilai M > S
t hitung < t-table --> H0 gagal ditolak		Tidak cukup bukti untuk menolak M > dari S
Case3: M < S
t-hitung	0.464
t-tabel 1T kiri	-1.746	=t.inv(0.05,(9+9-2))
H0	nilai siswa pria >= wanita
H1	nilai siswa pria < wanita
t hitung > t-table --> H0 gagal ditolak		Tidak cukup bukti untuk menolak M < dari S

Hasil T Test diatas sejalan dengan rumus Cohran sebelumnya, dimana dengan sample yang terlalu sedikit tsb, hasil T Test baik yang 2 arah (two tailed), maupun yang 1 arah kanan, atau 1 arah kiri menyimpulkan tidak cukup bukti untuk mengambil kesimpulan H0. Walaupun secara teoritis, sample kecil peluang H0 ditolak (fail to reject), bisa kecil, bisa besar. Dan jika sample makin besar, potensi H0 ditolak makin besar.

Lalu bagaimana pola H0 apakah di tolak, atau gagal di tolak? Berdasarkan metodologi, kita cukup bandingkan t hitung dengan t kritis. t kritis merupakan fungsi dari alpha 5% dan df. Dengan n 1700 buat M dan 1700 buat S dan dengan alpha 5%, berikut pola penolakan H0:

Pola keputusan H0 berdasarkan

Untuk sampel n dan :

Posisi	Dua arah	Kanan	Kiri
	Ditolak	Ditolak	Gagal ditolak & Tidak Relevan
	Gagal ditolak	Ditolak	Gagal ditolak & Tidak Relevan
	Gagal ditolak	Gagal ditolak	Gagal ditolak
	Gagal ditolak	Gagal ditolak & Tidak Relevan	Ditolak
	Ditolak	Tidak ditolak	Ditolak

Jadi ada wilayah tengah:

di mana ketiga gagal  ditolak.

Sebaliknya, tidak mungkin uji kanan dan uji kiri sama-sama menolak , karena satu membutuhkan t sangat positif dan satu lagi membutuhkan t sangat negatif.

Catatan Penting: Di tabel diatas ada keterangan "Gagal ditolak & Tidak Relevan" karena jika yang diuji membuktikan M > S, maka ini dilakukan uji kanan, sehingga uji kiri Tidak Relevan.

Berikut diagram Penolakan H0:

Kembali ke rumus t hitung. Dari rumus kita melihat:

t hitung = rata2 M - rata2 S / sqrt (sM^2/nM + sS^2/nS)

Jika rata2 M - rata2 S sudah negatif maka uji 1 arah kanan PASTI hasilnya H0 gagal ditolak, sekaligus uji ini Tidak Relevan. Artinya PASTI interpretasinya data tidak cukup untuk menolak H0 (M unggul dari S), namun sekaligus juga Tidak Relevan. Namun apakah uji 1 arah kiri juga PASTI H0 gagal ditolak atau PASTI H0 ditolak, itu belum tentu! Tergantung hasil t hitung. Kalau hasil t hitung negatif nya besar melebihi negatif t kritis, maka H0 ditolak.

Pertanyaan: apakah n sample yg besar misalkan 1700 buat M dan 1700 buat S, bisa dipastikan ada H1 yg diterima/H0 ditolak? Jawab: jika sebaran data mengikuti kurva normal, maka semakin besar jumlah sample, kemungkinan H0 ditolak (H1 diterima) makin tinggi (dengan syarat selisih rata-rata kedua sample cukup besar, dan standar deviasi kecil).

Berikut analisis-nya.

Dari rumus t hitung:

t hitung = rata2 M - rata2 S / sqrt (sM^2/nM + sS^2/nS)

terlihat bahwa, jika rata-rata M dan rata-rata S benar-benar ikut kurva  normal, maka semakin besar sample (nM dan nS) semakin stabil rata-rata tsb. Sehingga kita bisa anggap nilai rata2 M - rata2 S tetap, khususnya setelah nilai n cukup besar (> 30 sample). Dengan demikian t hitung hanya akan bergantung ke 1/sqrt (sM^2/nM + sS^2/nS), dengan asumsi nS dan nM sama besar, maka kita bisa tuliskan korelasinya

t hitung ~ 1/sqrt (s^2/n) 

t hitung ~ sqrt (n/s^2) 

Dengan asumsi kurva normal tadi, maka s^2 juga akan stabil terus walaupun sample di perbesar. Sehingga kita bisa tuliskan korelasinya

t hitung ~ sqrt (n)

 

Artinya jika jumlah sample n di perbanyak maka t hitung akan membesar.

Karena t hitung membesar seiring n membesar, maka kemungkinan H0 di tolak semakin besar.

Hal tsb mengkonfirmasi rumus Cochran, bahwa jumlah sampel yang besar menurunkan Margin of Error (MoE) hasil survey, DAN sekaligus jumlah sampel besar pada uji T dua arah akan meningkatkan probabilitas untuk menolak H0 (menerima kepastian dari H1). Artinya kepastian yang dihasilkan uji T akan makin meningkat.

Contoh kota dengan sample besar.

Kesimpulan tsb diatas dapat dikonfirmasi pada survey di salah satu kota besar dengan sample 408 buat TV M dan 408 buat TV S. 

rata2 M = 78.20, rata2 S = 87.52. 

Selisih rata-rata M - S = -9.32. 

Namun kekalahan M sebesar -9.32 itu cukup signifikan menolak H0 (sama saja antara M dan S)? 

Mari kita hitung...

Dengan alpha 5%, maka df = 408 + 408 -2.

t-kritis 2Tail =T.INV.2T(0.05,(408+408-2)) = 1.963

H0 gagal ditolak jika t hitung dalam range: -1.963 < t hitung < 1.963

dari sample 408 tsb, t hitung didapatkan -4.991 (kenapa negatif? karena rata2 M - rata2 S = -9.32).

Dari hasil tsb t hitung -4.991 berada diluar range -1.963 < t hitung < 1.963, sehingga H0 ditolak (H1 diterima). Dan karena negatif kita pakai 1T kiri.

t-kritis kiri =T.INV(0.05,(408+408-2)) = -1.647

Terlihat bahwa t hitung -4.991 jauh di bawah t kritis -1.647. Artinya semakin banyak sample semakin mendorong t hitung menjauh dari t kritis, yang juga berarti semakin meningkatkan kemungkinan bagi H0 ditolak (H1 diterima). Harap diingat bahwa t hitung ini fungsi dari selisih rata2 M - rata2 S dan juga fungsi dari standar deviasi kuadrad (varians). Jika ada sample sangat besar pun (misalkan 100 ribu) jika selisih rata2 M - rata S terpaut sedikit misalkan 1.5 point, sedangkan Standard Deviasi besar misalkan 30, ini ibaratnya signal hanya 1.5 dB tapi noise nya 30 dB. Dalam hal ini tetap saja H0 gagal ditolak (walau sample sudah sangat besar).

<eof>

Binomial dan Chi Square

Kasus: sebuah dadu dilempar 6 kali. Jika sisi angka yang muncul selalu sisi "6", maka kita curiga itu dadu palsu (diberi mesin yang bisa disetel memunculkan satu sisi angka tertentu).

Bagaimana pertanyaan penelitiannya?

Pertanyaan penelitian: Dadu itu dadu palsu, bukan dadu normal.

H0: itu dadu normal

H1: itu dadu palsu

Kita bisa pakai probabilitas sederhana.

Peluang muncul sisi 6 adalah 1/6.

Peluang muncul sisi 6 dalam 6 kali lemparan (1/6)^6 = 0.0000214 (0.002%).

Jika di kurva normal standar, 95% (0.95) bagian kirinya 5% adalah area H0 dtolak.

0.002% < 5% -- H1 diterima, artinya dadu itu palsu.

Nah sekarang apa dasar teorinya?

Jika t test untuk data kontinyu, maka untuk kasus lemparan dadu ini datanya adalah kategorikal/simbol. Dan t test tidak bisa digunakan. Sebagai gantinya kita akan gunakan test Chi Kuadrat.

Step 1: Merumuskan Hipotesis (H0 dan H1)

Dalam Uji Chi-Kuadrat untuk keselarasan (apakah data sesuai dengan harapan), hipotesis kita selalu berfokus pada keseimbangan atau distribusi frekuensi.

• H0 (Hipotesis Nol): Dadu tersebut normal/seimbang. Peluang munculnya setiap sisi dadu (1 sampai 6) adalah sama (masing-masing ).
• H1 (Hipotesis Alternatif): Dadu tersebut palsu/dimanipulasi. Distribusi peluangnya tidak merata (ada sisi yang lebih sering muncul).

Step 2: Menyiapkan Data dan Asumsi (Frekuensi Ekspektasi vs Observasi)

Kita melempar dadu sebanyak 60 kali. Ada dua jenis data frekuensi yang akan kita bandingkan:

1. Frekuensi Ekspektasi () - Harapan jika H0 Benar

Jika dadu benar-benar normal, berapa kali kita "berharap" setiap angka muncul dari 60 lemparan?

• Rumusnya:
• 

Jadi, ekspektasinya setiap angka (1, 2, 3, 4, 5, 6) masing-masing muncul 10 kali.

2. Frekuensi Observasi () - Kenyataan (Mock Data)

Mari kita buat asumsi data hasil lemparan palsu agar kita bisa melihat bagaimana H0 ditolak. Anggaplah angka "6" sudah di-setting agar lebih berat:

• Mata Dadu 1: 5 kali
• Mata Dadu 2: 7 kali
• Mata Dadu 3: 8 kali
• Mata Dadu 4: 9 kali
• Mata Dadu 5: 6 kali
• Mata Dadu 6: 25 kali

(Total = 60 kali lemparan)

Step 3: Rumus Chi-Kuadrat ()

Rumus untuk mencari nilai Chi-Kuadrat Hitung () sangat intuitif. Kita mencari selisih antara kenyataan dan harapan, dikuadratkan agar tidak ada nilai negatif, lalu dibagi dengan harapan:

Dimana:

•  = Jumlahkan seluruh hasil dari sisi 1 sampai 6
•  = Nilai Observasi (Kenyataan)
•  = Nilai Ekspektasi (Harapan)

Step 4: Perhitungan Step-by-Step

Mari kita masukkan mock data kita ke dalam rumus:

1. Sisi 1:
2. Sisi 2:
3. Sisi 3:
4. Sisi 4:
5. Sisi 5:
6. Sisi 6:

Total Nilai :

Step 5: Menentukan Derajat Kebebasan dan Nilai Kritis

Sama seperti t-test yang memiliki t-tabel, Chi-Kuadrat juga memiliki tabel nilai kritis ().

Untuk mencarinya, kita butuh dua hal:

1. Tingkat Signifikansi (): Kita gunakan standar 0.05 (5%).
2. Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom / df):

(Di mana  adalah jumlah kategori/sisi dadu, yaitu 6).

Melihat tabel Chi-Kuadrat untuk  dan , kita mendapatkan:

Step 6: Kesimpulan (Pengambilan Keputusan)

Aturan keputusannya persis sama dengan logika yang sudah Anda pahami:

• Jika  Gagal menolak H0 (Dadu normal).
• Jika  Tolak H0 (Dadu tidak normal).

Hasil Kita:

Nilai hitung kita adalah 28.0, sedangkan nilai tabel (pagar batasnya) hanya 11.070.

Karena , maka keputusannya adalah Tolak H0.

Kesimpulan Akhir:

Secara statistik, ada bukti yang sangat kuat (signifikan) bahwa dadu tersebut telah dimanipulasi (tidak seimbang), karena kemunculan angka 6 terlalu ekstrem untuk dianggap sebagai sebuah kebetulan.

 

Opsi lain adalah menggunakan test Binomial.

Step 1: Merumuskan Hipotesis (H0 dan H1)

Karena kecurigaan kita mengarah pada satu sisi secara spesifik (angka 6 muncul terlalu sering), kita akan menggunakan uji 1 arah (kanan).

• H0 (Dadu Normal): Peluang muncul angka 6 adalah persis  (atau ).
• H1 (Dadu Dimanipulasi): Peluang muncul angka 6 lebih besar dari .

Step 2: Mendefinisikan Parameter

Kita terjemahkan data observasi Anda ke dalam simbol matematika:

•  (Total lemparan)
•  (Jumlah "Sukses" / angka 6 yang muncul)
•  (Peluang sukses jika H0 benar)
•  (Peluang gagal jika H0 benar)

Step 3: Memahami Logika "P-Value" (Peluang Kumulatif)

Ini bagian yang paling sering disalahpahami. Dalam Uji Binomial, kita tidak hanya menghitung peluang munculnya angka 6 tepat 25 kali. Kita menghitung P-Value, yaitu peluang munculnya angka 6 sebanyak 25 kali atau lebih (25, 26, 27, ..., 60) jika dadu itu normal.

Rumus dasar probabilitas binomial untuk tepat  kejadian adalah:

(Di mana  adalah rumus Kombinasi: )

Jadi, P-Value Anda adalah penjumlahan panjang ini:

Masalahnya: Menghitung manual penjumlahan 35 rumus kombinasi berturut-turut akan sangat melelahkan! Oleh karena itu, ahli statistik menggunakan cara pintas di Step 4.

Step 4: Jalan Pintas (Pendekatan Distribusi Normal / Z-Test)

Jika jumlah  cukup besar (biasanya ), kita diizinkan menggunakan rumus Z-Score (Distribusi Normal) untuk mengestimasi hasil Uji Binomial. Ini jauh lebih mudah!

a. Cari Rata-rata yang Diharapkan ():

Berapa kali wajarnya angka 6 muncul dari 60 lemparan?

b. Cari Simpangan Baku () / Margin of Error:

Seberapa besar toleransi penyimpangan dari angka 10 tersebut?

c. Hitung Nilai Z (Z-hitung):

Kita ukur seberapa jauh kenyataan (25) menyimpang dari harapan (10), dibagi dengan margin toleransinya (2.887).

Step 5: Pengambilan Keputusan

Dalam tabel standar Distribusi Normal (untuk tingkat kepercayaan 95% atau  pada uji 1-arah), Z-tabel (batas kritisnya) adalah 1.645.

• Aturan: Jika , maka Tolak H0.
• Hasil kita: 5.19 > 1.645 (Sangat jauh melampaui batas!)

Kesimpulan:

Kita menolak H0 dengan sangat yakin. Peluang sebuah dadu normal menghasilkan angka enam sebanyak 25 kali dari 60 lemparan secara kebetulan nyaris mendekati 0%. Dadu tersebut secara statistik terbukti dimanipulasi (mendukung H1).

 

 <eof>