Binomial dan Chi Square

Kasus: sebuah dadu dilempar 6 kali. Jika sisi angka yang muncul selalu sisi "6", maka kita curiga itu dadu palsu (diberi mesin yang bisa disetel memunculkan satu sisi angka tertentu).

Bagaimana pertanyaan penelitiannya?

Pertanyaan penelitian: Dadu itu dadu palsu, bukan dadu normal.

H0: itu dadu normal

H1: itu dadu palsu

Kita bisa pakai probabilitas sederhana.

Peluang muncul sisi 6 adalah 1/6.

Peluang muncul sisi 6 dalam 6 kali lemparan (1/6)^6 = 0.0000214 (0.002%).

Jika di kurva normal standar, 95% (0.95) bagian kirinya 5% adalah area H0 dtolak.

0.002% < 5% -- H1 diterima, artinya dadu itu palsu.

Nah sekarang apa dasar teorinya?

Jika t test untuk data kontinyu, maka untuk kasus lemparan dadu ini datanya adalah kategorikal/simbol. Dan t test tidak bisa digunakan. Sebagai gantinya kita akan gunakan test Chi Kuadrat.

Step 1: Merumuskan Hipotesis (H0 dan H1)

Dalam Uji Chi-Kuadrat untuk keselarasan (apakah data sesuai dengan harapan), hipotesis kita selalu berfokus pada keseimbangan atau distribusi frekuensi.

• H0 (Hipotesis Nol): Dadu tersebut normal/seimbang. Peluang munculnya setiap sisi dadu (1 sampai 6) adalah sama (masing-masing ).
• H1 (Hipotesis Alternatif): Dadu tersebut palsu/dimanipulasi. Distribusi peluangnya tidak merata (ada sisi yang lebih sering muncul).

Step 2: Menyiapkan Data dan Asumsi (Frekuensi Ekspektasi vs Observasi)

Kita melempar dadu sebanyak 60 kali. Ada dua jenis data frekuensi yang akan kita bandingkan:

1. Frekuensi Ekspektasi () - Harapan jika H0 Benar

Jika dadu benar-benar normal, berapa kali kita "berharap" setiap angka muncul dari 60 lemparan?

• Rumusnya:
• 

Jadi, ekspektasinya setiap angka (1, 2, 3, 4, 5, 6) masing-masing muncul 10 kali.

2. Frekuensi Observasi () - Kenyataan (Mock Data)

Mari kita buat asumsi data hasil lemparan palsu agar kita bisa melihat bagaimana H0 ditolak. Anggaplah angka "6" sudah di-setting agar lebih berat:

• Mata Dadu 1: 5 kali
• Mata Dadu 2: 7 kali
• Mata Dadu 3: 8 kali
• Mata Dadu 4: 9 kali
• Mata Dadu 5: 6 kali
• Mata Dadu 6: 25 kali

(Total = 60 kali lemparan)

Step 3: Rumus Chi-Kuadrat ()

Rumus untuk mencari nilai Chi-Kuadrat Hitung () sangat intuitif. Kita mencari selisih antara kenyataan dan harapan, dikuadratkan agar tidak ada nilai negatif, lalu dibagi dengan harapan:

Dimana:

•  = Jumlahkan seluruh hasil dari sisi 1 sampai 6
•  = Nilai Observasi (Kenyataan)
•  = Nilai Ekspektasi (Harapan)

Step 4: Perhitungan Step-by-Step

Mari kita masukkan mock data kita ke dalam rumus:

1. Sisi 1:
2. Sisi 2:
3. Sisi 3:
4. Sisi 4:
5. Sisi 5:
6. Sisi 6:

Total Nilai :

Step 5: Menentukan Derajat Kebebasan dan Nilai Kritis

Sama seperti t-test yang memiliki t-tabel, Chi-Kuadrat juga memiliki tabel nilai kritis ().

Untuk mencarinya, kita butuh dua hal:

1. Tingkat Signifikansi (): Kita gunakan standar 0.05 (5%).
2. Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom / df):

(Di mana  adalah jumlah kategori/sisi dadu, yaitu 6).

Melihat tabel Chi-Kuadrat untuk  dan , kita mendapatkan:

Step 6: Kesimpulan (Pengambilan Keputusan)

Aturan keputusannya persis sama dengan logika yang sudah Anda pahami:

• Jika  Gagal menolak H0 (Dadu normal).
• Jika  Tolak H0 (Dadu tidak normal).

Hasil Kita:

Nilai hitung kita adalah 28.0, sedangkan nilai tabel (pagar batasnya) hanya 11.070.

Karena , maka keputusannya adalah Tolak H0.

Kesimpulan Akhir:

Secara statistik, ada bukti yang sangat kuat (signifikan) bahwa dadu tersebut telah dimanipulasi (tidak seimbang), karena kemunculan angka 6 terlalu ekstrem untuk dianggap sebagai sebuah kebetulan.

 

Opsi lain adalah menggunakan test Binomial.

Step 1: Merumuskan Hipotesis (H0 dan H1)

Karena kecurigaan kita mengarah pada satu sisi secara spesifik (angka 6 muncul terlalu sering), kita akan menggunakan uji 1 arah (kanan).

• H0 (Dadu Normal): Peluang muncul angka 6 adalah persis  (atau ).
• H1 (Dadu Dimanipulasi): Peluang muncul angka 6 lebih besar dari .

Step 2: Mendefinisikan Parameter

Kita terjemahkan data observasi Anda ke dalam simbol matematika:

•  (Total lemparan)
•  (Jumlah "Sukses" / angka 6 yang muncul)
•  (Peluang sukses jika H0 benar)
•  (Peluang gagal jika H0 benar)

Step 3: Memahami Logika "P-Value" (Peluang Kumulatif)

Ini bagian yang paling sering disalahpahami. Dalam Uji Binomial, kita tidak hanya menghitung peluang munculnya angka 6 tepat 25 kali. Kita menghitung P-Value, yaitu peluang munculnya angka 6 sebanyak 25 kali atau lebih (25, 26, 27, ..., 60) jika dadu itu normal.

Rumus dasar probabilitas binomial untuk tepat  kejadian adalah:

(Di mana  adalah rumus Kombinasi: )

Jadi, P-Value Anda adalah penjumlahan panjang ini:

Masalahnya: Menghitung manual penjumlahan 35 rumus kombinasi berturut-turut akan sangat melelahkan! Oleh karena itu, ahli statistik menggunakan cara pintas di Step 4.

Step 4: Jalan Pintas (Pendekatan Distribusi Normal / Z-Test)

Jika jumlah  cukup besar (biasanya ), kita diizinkan menggunakan rumus Z-Score (Distribusi Normal) untuk mengestimasi hasil Uji Binomial. Ini jauh lebih mudah!

a. Cari Rata-rata yang Diharapkan ():

Berapa kali wajarnya angka 6 muncul dari 60 lemparan?

b. Cari Simpangan Baku () / Margin of Error:

Seberapa besar toleransi penyimpangan dari angka 10 tersebut?

c. Hitung Nilai Z (Z-hitung):

Kita ukur seberapa jauh kenyataan (25) menyimpang dari harapan (10), dibagi dengan margin toleransinya (2.887).

Step 5: Pengambilan Keputusan

Dalam tabel standar Distribusi Normal (untuk tingkat kepercayaan 95% atau  pada uji 1-arah), Z-tabel (batas kritisnya) adalah 1.645.

• Aturan: Jika , maka Tolak H0.
• Hasil kita: 5.19 > 1.645 (Sangat jauh melampaui batas!)

Kesimpulan:

Kita menolak H0 dengan sangat yakin. Peluang sebuah dadu normal menghasilkan angka enam sebanyak 25 kali dari 60 lemparan secara kebetulan nyaris mendekati 0%. Dadu tersebut secara statistik terbukti dimanipulasi (mendukung H1).

 

 <eof>