Contoh Soal t-test dan z-test

Uji t-test dan z-test pada dasarnya adalah uji Hipotesis. Biasanya uji t-test dilakukan pada sample yang terbatas, kurang dari 30, sedangkan uji z-test dialkukan pada sample lebih dari 30.

Apa beda uji t-test dengan z-test?

Dari Stata kita jadi tahu bahwa z-test hanya digunakan jika variance atau standard deviasi dari populasi diketahui. 

Jika kita menggunakann z-test maka asumsinya Standar Deviasi populasi sudah diketahui. Jadi jika ada sample walau jumlahnya kecil akan tetapi 𝞼 diketahui, maka kita sebaiknya menggunakan z-test.

Akan tetapi kita juga tahu dari Central Teorm Limit, bahwa jika n > 30, maka kurva z dan kurva t akan berhimpit (nyaris sama). Sehingga jika n > 30, kita tetap bisa pakai z-test walau 𝞼 tidak diketahui. 𝞼 akan hampir sama nilainya dengan standard deviasi sample s.

Contoh Uji z-test

Sebuah mesin menghasilkan minuman sebanyak 80 ml per botol (𝛍 populasi). Seorang karyawan (peneliti) yakin bahwa mesin tersebut tidak menghasilkan sebanyak 80 ml per botol. Dia lalu mengambil 40 sampel (n). Dia ukur semua sample itu dan mendapatkan rata-rata 78ml (x-bar) dengan standar deviasi 2.5 (s sample).

Pertanyaan:

a. Buat H0

b. Dengan confident level 95%, apakah cukup bukti untuk menyatakan bahwa mesin tidak bekerja dengan benar?

Jawab:

a. Diketahui bahwa jumlah sample 40, maka akan dilakukan uji z (dalam hal ini 𝛔 dianggap sama dengan s karena sample sudah diatas 30).

H0, adalah status quo, yaitu 𝜇 = 80 ml

Ha, adalah lawannya, yaitu 𝜇 != 80 ml

b. Perhitungan z-value:

n = 40

x-bar = 78 ml

𝛔 = s = 2.5

alpha = 5%

z-critical = 1.96  (rumus excel: =NORMSINV(0.025) = 1.96 )

z-value = -5.06, berada area Reject H0, artinya H0 tertolak.

Interpretasi:

Dengan level confident 95%, asumsi bahwa rata-rata mesin menghasilkan 80ml per botol tertolak, artinya ada masalah pada mesin tsb.

Contoh Uji t-test

Sebuah perusahaan membuat bateray dengan lifetime 2 tahun atau lebih (𝛍 populasi). Seorang engineer peneliti merasa usia baterai kurang dari 2 tahun. Dia lalu mengambil 10 sample (n). Dia mendapatkan rata-rata dari sample tsb 1.8 tahun (x-bar) dengan standard deviasi 0.15 (s sample). 

Pertanyaan:

a. Buatlah hipotesis 0

b. Dengan confident level 99% apakah cukup bukti untuk mereject H0?

Jawab.

a. Karena jumlah sampel kurang dari 30, kita gunakan t-test (dan juga karena 𝛔 unknown).

H0, adalah status quo, yaitu 𝜇 >= 2 th (ONE TAIL)

Ha, adalah lawannya, yaitu 𝜇 < 2 th 

b. Perhingan t-value

n = 10

x-bar = 1.8 th

s = 0.15

alpha = 1%

t-critical = -2.82  (rumus excel: ==T.INV(0.01 , 9) = -2.82), df = 10 -1 = 9

t-value = -4.22, berada area Reject H0, artinya H0 tertolak.

Interpretasi:

Dengan level confident 99%, asumsi bahwa rata-rata lifetie baterai >= 2th ditolak, artinya ada masalah pada produksi bateray tsb, sehingga rata-rata lifetimenya < 2th.

LEBIH LANJUT DENGAN Z-TEST

Persyaratan t-test:

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Jika 𝛔 (standar deviasi populasi) diketahui dan sample > 30 maka gunakan z-test. Karena sample cukup besar maka jika  𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui bisa diganti dengan s (standar deviasi sample).

Note: Para peneliti lain menyatakan apabila 𝛔 diketahui, walaupun sample < 30, tetap menggunakan z-test.

Contoh soal: 𝛔 diketahui, tapi sample kecil

Nilai rata-rata satu sekolah adalah 75 (𝛍 populasi), dengan standar deviasi 10 (𝛔 populasi). Berapa probability random sample, 5 siswa (n) dengan nilai diatas 80 (x-bar).

Jawab:

Kita tahu bahwa syarat t-test harus terpenuhi dua syarat ini:

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Dalam konteks soal, 𝛔 (standar deviasi populasi) diketahui, maka t-test tidak digunakan. Walaupun sample kecil, karena 𝛔 diketahui kita tetap pakai z-test. 

Summary data:

𝜇 (mean population) = 75

𝛔 (standar deviasi populasi) = 10

n = 5

x-bar > 80

Rumus z-value

z-value  =  (80 - 75) / (10 / sqrt (5)) = 1.12

z-critical = NORMSDIST(1.12) = 86.86%

Sehingga probabilitas 5 siswa mendapatkan nilai > 80 adalah 100% - 86.86 = 13.14%

Contoh soal: 𝛔 tidak diketahui, tapi sample besar

Nilai rata-rata sebuah sekolah adalah 75 (𝛍 populasi). Standar deviasi untuk 40 random sample (n) adalah 10 (s). Berapa probabilitas nilai rata-rata sample (40 sample tadi) diatas 80 (x-bar)?

Syarat menggunakan t-test, terpehuni dua hal.

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Dalam konteks ini syarat pertama 𝛔 standar deviasi populasi tidak diketahui, artinya pakai t-test, dan sample besar. Karena salah satu tidak terpenuhi maka kita tetap pakai z-test. 

Summary data:

𝜇 (mean population) = 75

𝛔  = s (standard deviasi sample) =10

n = 40

x-bar > 80

Rumus z-value

z-value  =  (80 - 75) / (10 / sqrt (40)) = 3.16

z-critical = NORMSDIST(3.16) = 99.92%

Sehingga probabilitas 40 siswa mendapatkan nilai > 80 adalah 100% - 99.92 = 0.08%

Contoh soal: 𝛔 tidak diketahui, dan sample kecil

Nilai rata-rata sebuah sekolah adalah 75 (𝛍 populasi). Standar deviasi untuk 9 random sample (n) adalah 10 (s). Berapa probabilitas nilai rata-rata sample (9 sample tadi) diatas 80 (x-bar)?

Syarat menggunakan t-test, terpehuni dua hal.

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Dalam konteks ini kedua syarat terpenuhi, maka kita gunakan t-test.

Summary data:

𝜇 (mean population) = 75

s  (standar deviation sample) = 10

n = 9

x-bar > 80

Rumus t-value

t-value  =  (80 - 75) / (10 / sqrt (9)) = 1.5

t-critical = =T.DIST.RT(1.5,8) = 8.60%  -- RT = Right Tail

Sehingga probabilitas sample 9 siswa mendapatkan nilai > 80 adalah = 8.60%

<eof>