Mengapa Sample Indonesia 1200

Masih ingat gak kita, saat mulai ada pilpres, banyak Lembaga Survey melakukan survey untuk meramal siapa nanti bakal jadi Presiden Indonesia. Dan yang menarik, mereka melakukan survey (bukan sensus ya) itu samplenya hanya 1200 untuk menggambarkan 204 juta lebih pemilih.

Mereka bilang tingkat kepercayaan 95% dengan Margin of Error (MoE) 2.9%.

Contohnya pada berita detik.com ini.

Survei dilakukan dengan total 1.200 responden. Adapun penarikan sampel menggunakan metode multistage random sampling dengan toleransi kesalahan (margin of error--MoE) sekitar ±2,9% pada tingkat kepercayaan 95%.

"Ini adalah kali pertama Indikator Politik Indonesia menemukan elektabilitas Prabowo Subianto-Gibran Rakabuming Raka tembus berada di atas angka 50 persen," terangnya.

Tidak hanya di Indonesia, di Amerika pun rata-rata menggunakan sample size 1200 responden. Termasuk di lembaga survey skala Asia, seperti yang digunakan oleh Asian Barometer Survey.

Demikian juga survey yang dilakukan di negara-negara Eropa mewajibkan sample size 1200 untuk negara dengan penduduk diatas 2 juta jiwa, dan minimum 1000 untuk negara dengan jumlah penduduk dibawah 2 juta jiwa.

Darimana angka 1200 responden ini asalnya?

Angka 1200 tsb berasal dari Rumus Cochran berikut.

n: Jumlah sampel minimal yang dicari.

Z: Nilai standar normal untuk tingkat kepercayaan tertentu (misalnya, tingkat kepercayaan 95% menggunakan Z = 1,96).

p: Proporsi atau estimasi kejadian pada populasi (sering diasumsikan 0,5 untuk varians maksimal).

q: Peluang komplemen, yaitu 1 - p (jika p = 0,5, maka q = 0,5).

e: Margin of error atau tingkat kesalahan yang dapat ditoleransi (misalnya 0,05 atau 5%).

Dari rumus terlihat bahwa n (jumlah sample) itu tidak bergantung kepada populasi. Tapi bergantung kepada Z tingkat kepercayaan dan e Margin of Error, serta p variabilitas populasi.

Sekarang kita hitung:

Jika Z (95%) = 1.96, p 50% dan e 2.9%.

Masukkan ke rumus:

n = 1.96^2 * 0.5 ( 1 - 0.5 ) / .029^2

n = 1141.9

n = 1142

Inilah makanya lembaga survey melakukan survey ke 1200 orang.

Sekarang kita lihat pengaruh p terhadap n.

Terlihat bahwa jika p kita turunkan jadi misalkan 10% maka sample cukup 400 orang.

Apa makna p?

Misalkan Anies vs Prabowo.

Di suatu daerah kita belum tahu proporsi pemilih Anis dan Prabowo, maka kita pakai p 50%. Artinya jumlah sampel maksimum 1142 orang.

Tapi jika kita mau fokus di Sumbar misalkan yg kita tahu Sumbar pemilih garis keras Anies sekitar 80%, artinya kita perlu cek di p 20% saja, maka jumlah sampel di Sumbar cukup [lihat kurva diatas] 730 orang (hemat biaya survey). 

Kenapa demikian? Karena mensurvey sebanyak 1142 orang akan sama saja hasilnya dengan 730 orang, disebabkan kontribusi pemilih garis keras Anies di Sumbar yang populasinya sangat besar.

Sekarang kita lihat pengaruh n terhadap MoE.

Terlihat bahwa kenapa dipakai 1200 orang sebagai sampel? Karena itu memberikan MoE kecil sekitar 2.83%. Nah, jika kita duitnya kurang ya misalkan kita survey saja 385 orang, maka itu sama saja tingkat kepercayaan 95% namun margin of error 5% (lihat kurva).

Gimana kalau survey 100 orang, ya MoE naik jadi 9.8%.

Ok, balik ke laptop.

Jika penduduk Indonesia yg layak memilih 204 juta orang maka layak di sample 1200 orang.

Bagaimana kalau penduduk suatu negara kurang dari 1200 orang? Misalkan cuma 1000 orang. Kan gak mungkin survey ke 1200 orang lah wong penduduk negara itu hanya 1000 orang.

Nah Cochran ini ada rumus koreksinya jika jumlah populasi kurang banyak yaitu.

Dengan rumus ini mari kita hitung sebuah negara dengan penduduk 1000 (misal Vatikan), maka sampel yang dibutuhkan:

n0 = 1142

N = 1000

n = 1142 / (1 + 1141/1000)

n = 533 sample

Jadi instead of survey 1141 orang dimana penduduknya saja cuma 1000 orang, maka cukup survey 533 orang saja.

Bagaimana kaitan antara jumlah populasi dengan ukuran sampel?

Telihat bahwa untuk populasi diatas 1 juta penduduk, sampel nya cukup 1200 orang. Demikian juga untuk populasi diatas 400 ribu penduduk sampelnya cukup 1200 orang juga. Namun terjadi penurunan sampel yang tajam di 50 ribu penduduk, menuju 25 ribu penduduk, dan drop drastis dibawah 12 ribu penduduk.

Terlihat dari 50 ribu ke 25 ribu penduduk, maka sample yang dibutuhkan masih di kisaran 1000an. Namun ketika penduduk sudah turun ke 5 ribu, maka jmlah sample yang dibutuhkan sudah dibawah 1000. Dan jika penduduk hanya 1000 jumlah sampe sekitar 300an.

Mengenai rumus Cochran dan FCP itu dapat di baca di Jurnal ini.

Jumlah sample vs Tingkat Kepercayaan

Sekarang anggap kita mau survey kualitas penerimaan siaran TV M di daerah Jakarta Pusat. Total rumah diperkirakan 124.000. Jika rumah yang disample hanya 9, berapa tingkat kepercayaan survey?

Jawab:

Rumus Z (tingkat kepercayaan)

Diketahui:

e = 2,9%

p = 0,5 q = 1 -p = 0,5

n = 9

maka

Z = 0,174, maka dari kurva Z terlihat bahwa tingkat kepercayaan adalah 13.81%.

Artinya hasil survey untuk Jakarta Pusat tsb hanya layak dipercayai 13.81%. Dalam bahasa yg lebih teknis: jika hasil survey kali ini TV M unggul dengan rata-rata Signal Quality 80%, maka jika survey ke 9 orang random dalam populasi Jakarta Pusat dilakukan berulang ulang misalkan sebanyak 100 kali, maka akan didapatkan bahwa hanya 13.81 atau 14 kali Survey yg akan mendapatkan hasil TV M menang dengan kisaran Signal Quality 80% +/- 2.9%. Sedangkan 86 survey lainnya tidak akan menghasilkan TV M menang dengan kisaran Quality 80% +/- 2.9% (bisa saja TV M menang dengan kisaran yg lebih rendah dari itu, atau TV M kalah sama sekali).

Cara lain interpretasi kurva diatas adalah bahwa dengan "dipatok" Margin of Error 2.9% maka probabilitas mendapatkan nilai yg memenuhi rentang MoE tsb untuk 9 sample hanya 13.81%.

Lalu agar tingkat kepercayaan 95%, berapa mestinya jumlah sample?

Dengan rumus FCP jika n0 1200, N 124 ribu rumah, maka n = 1188 sample.

Jadi selayaknya untuk Jakarta Pusat, samplenya 1.188 sample.

Case2

Sekarang, jika survey dilakukan di Bogor. Dengan Jumlah sample 103. Estimasi jumlah rumah di Kota Bogor 250 ribu. 

Diketahui:

e = 2,9%

p = 0,5 q = 1 -p = 0,5

n = 103

Maka

Z = 0.589, dan tingkat kepercayaan 44.39%. 

Catatan: 44.41% di gambar karena faktor pembulatan pada nilai Z sebelumnya. Lihat spreadsheet)

Cara lain interpretasi kurva diatas adalah bahwa dengan "dipatok" Margin of Error 2.9% maka probabilitas mendapatkan nilai yg memenuhi rentang MoE tsb untuk 103 sample adalah 44.39%.

Lalu, berapa jumlah sample agar tingkat kepercayaan 95%? Menggunakan rumus FCP jika n0 1200, N 250 ribu rumah, maka n = 1194 sample. Artinya jika melakukan survey di Bogor dengan tingkat kepercayaan hasil survey 95%, maka jumlah sampel rumah yang di survey minimal 1194 sample.

Dari sudut pandang lain: jika diasumsikan Confident Level tetap 95%, maka jika n = 9, maka Margin of Error (MoE) nya 32.67%. Artinya jika stasiun TV M dianggap menang di Jakarta Pusat dari hasil survey sebesar 51% maka bisa saja sebenarnya stasiun TV M kalah telak, dimana stasiun TV M hanya dapat nilai 18.33% (51% - 32.67% = 18.33%), sehingga sebenarnya stasiun TV S lah yang menang 81.67%. Namun bisa juga kondisinya stasiun TV M menang telak sebesar 83.67% (51% + 32.67%). 

Kenapa muncul ketidakpastian ini? Ya, karena Margin of Error nya sangat tinggi (32.67%).

Kesimpulannya: Stasiun TV M tidak bisa klaim kemenangan di Kota X, karena jumlah sampel yang terlalu sedikit.

Catatan: perhitungan jumlah sample diatas jika menggunakan rumus Cochran, berdasarkan Jurnal yg disebutkan sebelumnya lebih tepat diuji dengan menggunakan σ^2 (variance populasi) dimana σ adalah standar deviasi populasi (persamaan 7). Namun kendalanya standar deviasi populasi sering tidak tersedia.

<eof>

Variable Mediasi dan Moderasi

Regresi Standar sumber disini.

Motivasi kerja = a*Kemimpinan + b*Iklim + c

Variable Mediasi

Suhu dalam mobil berkorelasi dengan Komsumsi BBM. Namun jika dipikir ulang, korelasi tsb tidak lansung tapi ada variable perantara yaitu Penggunan AC. Karena suhu naik, maka orang menghidupkan AC mobil, dampaknya Konsumsi BBM naik. Logis bukan?

Dalam contoh diatas Variable PengguaanAC sebagai Variable Mediasi (Perantara)

Variable Moderasi

Pendapatan naik menyebabkan konsumsi naik. Namun ada moderator dari relasi tersebut yaitu Gaya Hidup. Orang yang punya Gaya Hidup high akan mengamplifikasi pendapatan dan meningkatkan konsumsi. Apakah logis?

Variabel Mediasi [Studi Kasus 1]

Diberikan data sbb (penjelasan di video):

	Sales	Income	Satisfaction
1	20	5	3
2	25	6	4
3	20	4	2
4	30	6	5
5	22	5	3
6	28	5	5
7	26	6	5
8	22	5	5
9	26	6	5
10	28	7	5
11	22	5	3
12	24	5	4
13	26	6	4
14	28	5	5
15	21	5	2
16	20	6	5

Tentukan apakah Satisfaction memediasi Income terhadap Sales.

Di Video digunakan perhitungan menggunakan SEM Builder di Stata. Kita tidak akan menggunakan nya, namun akan menggunakan model perhitungan Sobel Test dari referensi Video ini atau ini.

Teori Variable Moderasi dapat dilihat di video Bpk. Yuniarto Hadiwibowo dosen STAN berikut ini.

Anggap X pompa air, Y adalah bak air. Air bisa mengalir langsung lewat pipa c. 

Alternatif lain air juga bisa disalurkan lewat pipa a dan c' bersamaan, dari pipa a masuk ke bak tampung Z, lalu disalurkan lagi ke pipa b masuk ke Y. Sedangkan aliran lain di pipa c' langsung masuk ke Y.

Nah, misalkan debit air di pipa c, 200 kubik/detik, maka jika jalur diparalel via pipa a, otomatis aliran air di c (karena paralel maka c sekarang jadi c') akan drop misal menjadi 150 kubik/detik.

c = 200 kubik/detik

c' = 150 kubik/detik

berarti sisa nya 50 kubik/detik mengalir di pipa a dan b.

Nah, jika saat di paralel c' menjadi 0 kubik/detik, maka disebut Z itu memediasi full, karena 200 kubik/detik full mengalir via Z.

Jika c' < c, maka hanya sebagian air yang mengalir via Z, maka disebut Z memediasi partial.

Jika koefisien a dan c tidak significant (p > 0,05) maka pastilah tidak ada air yang mengalir ke Z, maka Z disebut tidak memediasi.

Ketentuan Mediasi:

Z fully memediasi, jika:

1. c significant, 
2. b significant, 
3. c' tidak significant

    Jika c' menjadi tidak significant, maka aliran sepenuhnya pindah ke a dan b, sehingga bisa disimpulkan Satisfaction (Z) fully memediasi.

 Z partially memediasi, jika:

1. c significant,  
2. c' significant
3. nilai c > c'

    Jika c' tetap significant, maka aliran akan sebagian mengalir ke c' artinya Satisfaction (Z) partially memediasi.

Z tidak memediasi, jika:

1. a atau b tidak significant,  
2. c significant, 
3. nilai c' tetap besar atau mendekati sama dengan c

    Jika a atau b tidak significant maka bisa disimpulkan bahwa Satisfaction (Z) tidak memediasi. Jika b significant, maka bisa dikatakan bahwa Z (Satisfaction) merupakan variabel independent terhadap Y (Sales), bukan variabel yang me-mediasi. Karena tidak memediasi maka efeknya nilai c' akan tetap besar mendekati (atau sama dengan) c.

Kembali ke topik.....

Gambar dari diagram mediasi Satisfaction sbb:

Jika di running dengan Stata:

1. Mencari a

2. Mencari b

3. Sobel Calculator

Interpretasi: Satisfaction tidak memediasi secara signifikan karena |Z| < 1.96, dan p 0.0785 > 0.05.

Cara lain menganalisa mediating variable, mengikuti alur penjelasan Bpk. Yuniarto spt di video beliau.

1. graph matrix sales satisfaction income 

Karena datanya hanya 16, jadi terlihat masih scattered walaupun ada korelasi.

2. correlate sales satisfaction income 

terlihat bahwa ada korelasi antara satisfaction <--> sales, income <--> sales dan income <--> satisfaction..

3. regress satisfaction income

terlihat bahwa setiap penambahan income $1 maka satisfaction meningkat 0.95, dan significant (p 0.11 < 0,05). 

A = 0.953, p 0.011 significant

4. regress sales satisfaction income

B = 1.654, p 0.046 significant

A * B = 1.576 [indirect efect] 

Caksen = 0.849 [direct effect], p 0.478 tidak significant

Total Effect = direct effect + indirect effect = 0.849 + 0.953*1.654 = 2.425

terlihat air yang mengalir di pipa Caksen hanya 0.849 dengan p 0.478 (tidak signifikan) sedangkan yang lewat mediasi 1.576. Artinya bisa disimpulkan Caksen ini tidak signicant, sehingga diduga Z sebagai mediating variable tidak significant alias tidak memediasi.

5. regress sales income (melihat C)

terlihat C  = 2.425 p 0.034 significant. C terjadi jika tidak ada Variabel Mediasi (artinya pipa hanya mengalirkan air murni dari pipa c, pipa c' tidak terpakai.

Interpretasi Fully Mediating, Partially Mediating, atau Non Mediating berdasarkan Baron & Kenny.

Berikut analisis ChatGPT, menggunakan Barron & Kenny.

Analisis:

• Full Mediation: Variabel Satisfaction dikatakan sebagai mediator penuh jika pengaruh langsung Income terhadap Sales (C') menjadi tidak signifikan setelah dimasukkannya Satisfaction, dan pengaruh Satisfaction terhadap Sales (B) signifikan.

  • C' (0.849) tidak signifikan (p = 0.478)
  • B (1.654) signifikan (p = 0.046)
  • Koefisien C (2.425) signifikan (p = 0.034)

  Berdasarkan hasil ini, C' tidak signifikan setelah memasukkan Satisfaction, yang menunjukkan bahwa Satisfaction mungkin menjadi mediator penuh.

• Partial Mediation: Variabel Satisfaction dikatakan sebagai mediator parsial jika pengaruh langsung Income terhadap Sales (C') berkurang tetapi masih signifikan setelah dimasukkannya Satisfaction, dan pengaruh Satisfaction terhadap Sales (B) signifikan.

  • Dalam hal ini, C' tidak signifikan, sehingga tidak mendukung mediasi parsial.

• No Mediation: Tidak ada mediasi jika pengaruh langsung Income terhadap Sales (C') tetap signifikan dan besar setelah memasukkan Satisfaction, atau jika pengaruh Satisfaction terhadap Sales (B) tidak signifikan.

  • C' tidak signifikan (p = 0.478), yang menunjukkan bahwa mediasi oleh Satisfaction ada.

Kesimpulan Baron & Kenny:

Berdasarkan hasil di atas:

• Koefisien A = 0.953 dengan p = 0.011 (signifikan)
• Koefisien B = 1.654 dengan p = 0.046 (signifikan)
• Koefisien C' (Caksen) = 0.849 dengan p = 0.478 (tidak signifikan)
• Koefisien C = 2.425 dengan p = 0.034 (signifikan)

Variabel Satisfaction dapat dikategorikan sebagai fully mediating variabel dalam hubungan antara Income dan Sales karena pengaruh langsung Income terhadap Sales menjadi tidak signifikan setelah Satisfaction dimasukkan ke dalam model.

Kesimpulan diatas agak berbeda dengan Hasil Sobel Test. Jawaban dari ChatGPT sbb:

Hasil Sobel Test:

Nilai z dari perhitungan Sobel Test adalah 1.76.

Untuk menentukan apakah nilai z ini signifikan, kita perlu membandingkannya dengan nilai kritis dari distribusi normal. Pada tingkat signifikansi umum (α = 0.05), nilai kritis adalah sekitar ±1.96. Jadi, untuk Sobel Test:

• Jika $|z| > 1.96$, efek mediasi signifikan.
• Jika $|z| \leq 1.96$, efek mediasi tidak signifikan.

Dalam hal ini:

• Nilai z = 1.76, yang tidak signifikan pada tingkat signifikansi 0.05 karena $|1.76| < 1.96$.

Kesimpulan Berdasarkan Sobel Test:

Karena nilai z tidak signifikan, ini menunjukkan bahwa mediasi oleh Satisfaction tidak signifikan. Dengan kata lain, meskipun Satisfaction mempengaruhi hubungan antara Income dan Sales, efek mediasi tidak cukup kuat untuk dianggap signifikan secara statistik.

Kesimpulan Akhir:

• Berdasarkan analisis Baron dan Kenny, Satisfaction bertindak sebagai fully mediating variabel karena koefisien C' tidak signifikan setelah memasukkan Satisfaction ke dalam model.
• Namun, berdasarkan Sobel Test, mediasi oleh Satisfaction tidak signifikan.

Secara keseluruhan, dapat disimpulkan bahwa Satisfaction mungkin memiliki peran sebagai mediator, tetapi efek mediasi ini tidak signifikan secara statistik menurut Sobel Test. Jadi, meskipun Satisfaction dapat dianggap fully mediating menurut langkah-langkah Baron dan Kenny, hasil ini harus diinterpretasikan dengan hati-hati mengingat hasil Sobel Test.

================================

Lanjutan....  tanya ke ChatGPT.. agar menghitung direct effect, indirect effect dan total effect:

Definisi Efek:

• Direct Effect (C'): Pengaruh langsung dari Income ke Sales ketika mediator (Satisfaction) dimasukkan dalam model.
• Indirect Effect (A * B): Pengaruh tidak langsung dari Income ke Sales melalui mediator (Satisfaction).
• Total Effect (C): Pengaruh total dari Income ke Sales tanpa memperhitungkan mediator.

Rangkuman Efek:

1. Direct Effect (C'): $C' = 0.849$

2. Indirect Effect (A * B): $\text{Indirect Effect} = 1.576$

3. Total Effect (C): $C = 2.425$

Interpretasi:

• Total Effect (C): Pengaruh total dari Income ke Sales tanpa mediator adalah 2.425.
• Direct Effect (C'): Pengaruh langsung dari Income ke Sales setelah memasukkan mediator Satisfaction adalah 0.849.
• Indirect Effect (A * B): Pengaruh tidak langsung dari Income ke Sales melalui Satisfaction adalah 1.576.

Analisis:

• Direct Effect (C') berkurang dari Total Effect (C) ketika Satisfaction dimasukkan sebagai mediator, menunjukkan bahwa sebagian dari pengaruh Income terhadap Sales terjadi melalui Satisfaction.
• Indirect Effect (A * B) cukup besar (1.576), menunjukkan bahwa Satisfaction memediasi sebagian besar pengaruh Income terhadap Sales.
• Karena C' menjadi tidak signifikan (p = 0.478) setelah memasukkan Satisfaction, ini mendukung kesimpulan bahwa Satisfaction adalah fully mediating variabel. Namun, analisis Sobel Test sebelumnya menunjukkan bahwa mediasi ini tidak signifikan secara statistik, sehingga hasil ini harus diinterpretasikan dengan hati-hati.

Kesimpulan:

• Total effect dari Income ke Sales adalah signifikan.
• Direct effect dari Income ke Sales setelah memperhitungkan Satisfaction adalah tidak signifikan.
• Indirect effect melalui Satisfaction adalah substansial tetapi perlu diperiksa lebih lanjut untuk signifikansi statistik.

CATATAN: 

1. Menurut Gemini AI Variable berdasarkan teori Baron & Kenny, maka variable Satisfaction tidak full memediasi (berbeda dengan ChatGPT yang meyatakan full memediasi). Alasan dari GeminiAI bahwa ada syarat dari Baron & Kenny, selain p value Caksen tidak significant, koefisien Caksen juga mendekati 0. Ini arrtinya "air" hampir semua mengalir ke A dan B. Itulah konsep Full Mediasi.

Beriktu detailnya.

Criteria for Eliminating Direct Effect (Full Mediation):

According to Baron & Kenny's strict criteria, for full mediation, the direct effect (Caksen) should not only be non-significant but also theoretically very close to zero. This suggests the mediator (Satisfaction) completely explains the relationship between the independent variable (Income) and the dependent variable (Sales).

Alternative Viewpoints:

It's important to acknowledge that Baron & Kenny's criteria have been debated. Some researchers argue that a substantial reduction in the direct effect, even if not completely eliminated, can still indicate partial mediation, especially if the indirect effect mediated by the variable is statistically significant.

2. Penulis lebih setuju dengan pendapat GeminiAI ini, sehingga berdasarkan teori Baron & Kenny, dapat disimpulkan Satisfaction memediasi secara parsial.

Cetral Limit Theory

Central Limit Theory menyatakan bahwa, walaupun original variable nya diambil acak dari populasi akan tetapi jika jumlah sample yang diambil sangat banyak, maka distribusi dari mean akan mendekati kurva normal.

Untuk lebih jelasnya bisa dibaca artikel ini.

Misalkan kita punya taman. Di taman tsb terdapat 6 jenis bunga. Jumlah populasi bunga sangat banyak. Dan mean dari populasi adalah 3.5 (mean dari 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Jika kita lakukan 7 kali percobaan pengambilan sample, dengan tiap kali percobaan kita ambil 10 bunga, maka hasilnya sbb:

Nah Central Limit Theory (CLT) menyatakan bahwa semakin banyak sample yang diambil tiap percobaan maka:

mean_percobaan akan mendekati 3.5

Digambar terlihat: 

mean_perc 1 = 3.7

mean_perc 2 = 3.7

mean_perc 3 = 2.5

mean_perc 4 = 4.1

mean_perc 5 = 3.6

mean_perc 6 = 3.9

mean_perc 7 = 3.3

------------------------

mean of mean_perc = 3.54

CLT juga menyatakan bahwa, semakin sering percobaan dilakukan dan mean_perc dicari kembali mean-nya (mean of mean_perc) maka hasilnya akan mendekati 3.5 (digambar terlihat 3.54).

Apa urgensinya dari CLT ini?

CLT meyatakan bahwa semakin banyak sampel yang diambil maka semakin mendekati kurva normal. Itulah mengapa ada pendapat yang megatakan, ramdom sample yang diambil dengan observasi 30, sudah mendekati distribusi normal.

Lebih jauh, jika tiap percobaan dicari mean nya dan diulangi, lalu mean tiap-tiap percobaan ini di gambar dalam kurva histogram, maka dipastikan kurvanya akan jadi kurva normal.

Secara teori, di wikipedia dinyatakan begini:

If ${\textstyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ are random samples each of size ${\textstyle n}$ taken from a population with overall mean ${\textstyle \mu }$ and finite variance ${\textstyle \sigma ^{2}}$ and if ${\textstyle {\bar {X}}}$ is the sample mean, the limiting form of the distribution of ${\textstyle Z=\left({\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma /\surd n}}\right)}$ as ${\textstyle n\to \infty }$, is the standard normal distribution

Terlihat jika jumlah sample n sangat besar, maka distribusiya menjadi standard normal distribution.

Jika ingin mencoba efek penambahan observasi pada masing masing percobaan bisa download spreadsheet ini. 

Dalam spreadsheet, diasumsikan dengan lempar dadu.

Kolom C, dilakukan percobaan lempar dadu 10x tiap percobaan. Hasil mean tiap percobaan ditulis di kolom N. Setelah 10x percobaan, mean dari mean-perc 3.59 (sel N4).

Kolom G, dilakukan percobaan lempar dadu 100x lempar tiap percobaan. Dan diulangi sampai 100x percobaan. Tiap percobaan hasil mean nya ditulis di kolom R. Setelah 100x percobaan, mean dari mean-perc 3.52 (sel R4).

Terlihat disini dengan 100x percobaan dan jumlah sample 100 sample per percobaan, maka mean yang didapat dari mean dari masing-masing 100x percobaan tsb 3.52 (mendekati mean populasi 3.50).

Dan, terlihat juga disini dengan 216x percobaan dan jumlah sample 500 sample per percobaan, maka mean yang didapat dari mean dari masing-masing 216x percobaan tsb 3.50 (sama dengan mean populasi 3.50). Kita bisa lanjutkan percobaan lempar dadu ini sampai percobaan ke 500, dengan klik tombol "Run".

Ringkasnya semakin banyak sample, maka mean dari rata-rata sample tsb akan mendekati mean populasi.

Dan juga, semakin sering dilakukan percobaan, maka mean of mean_perc akan mendekati mean_populasi.

Berikut adalah beberapa contoh histogram, dengan random pengambilan dadu sebanyak n lemparan dadu untuk sejumlah p kali percobaan.

n=100, p=100

n=1000, p = 216

n=50000, p=525

Terlihat semakin banyak sample per percobaan, dan semakin banyak percobaan, maka kurva mean of mean_perc akan semakin menjadi kurva normal.

<eof>

Confident Interval 1 Tailed t test

Stata menampilkan Confidence Interval untuk t test. Akan tetapi interval yang ditampilkan adalah untuk 2 tailed test. Bagaimana untuk 1 tailed test?

Stata sudah cukup berbaik hati menampilkan probalility untuk 1 tailed t test. Namun untuk confident interval 1 tailed t test nya tidak ditampilkan.

Berikut diberikan contoh kasus sbb.

Terlihat akan diuji apakah terdapat kenaikan komsumsi kopi > 3 cangkir per hari.

Ha: mean > 3 (rata-rata konsumsi kopi meningkat)

Dengan hitung manual didapat hasil sbb.

Dengan hitung manual p-value terletak antara 0.01 < p-value < 0.025. Karena p-value < 0.05 maka Ho reject, Ha accept. Artinya dapat disimpulkan: rata-rata konsumsi kopi meningkat dari sebelumnya 3 cangkir.

Output dengan Stata:

Terlihat bahwa Ha: mean > 3, Pr nya 0.0232 lebih kecil dari 0.05 sehingga Ha accept.

Terlihat juga 95% Conf. Interval di output Stata. Namun ingat ini adalah output dari 2 tailed test.

Bagaimana dengan output 1 tailed test nya?

Kita harus buat 95% Left Test untuk Ho

Terlihat daerah penolakan Ho adalah jika < 3.11657. Sedangkan jika Ho >= 3.11675, accept.

Jika Ho <= 3, maka Ho berada di wilayah penolakan sehingga Ho direject (artinya Ha: mean > 3 accept).

Ini teknik mereject Ho berdasarkan Conf. Interval 1 tailed.

Dari mana angka 3.11657 di dapat?

t_critical_rt= T.INV(1-alpha, df) = T.INV(1-0.05,11) = 1.795884819

conf_interval_lt =  mean - t_critical_rt * std.error = 3.583333333 - 1.795884819 * 0.2599048 = 3.11657

conf_interval_rt =  mean + t_critical_rt * std.error = 3.583333333 + 1.795884819 * 0.2599048 = 4.05009

 

Spread sheet excelnya bisa di download disini.

Cara Membaca Null Hypotesis Stata

Tulisan ini merupakan adaptasi dari artikel https://www.ssc.wisc.edu/sscc/pubs/sfs/sfs-ttest.htm. Didalam artikel tsb diberikan penjelasan cara membaca Ha, pada output Stata. 

Latar Belakang

Pada saat melakuka test Hipotesis Null (Ho) apakah kita reject atau accept, perlu dibuatkan lawan dari Ho, yaitu Ha nya.

Menariknya Stata akan menampilkan Ha, baik yang two tailed, maupun yang one tailed left, maupun right.

Sebagai contoh: 

Anggap kita ingin menguji bahwa rata-rata nilai educ (education) pada satu polulasi = 14 (Ho: mean = 14).

Terlihat disini Stata mengasumsikan:

Ho: mean =14

Dan stata menampilkan nilai Mean, Std. Err., dan Std. Dev dari 254 sample.

Mean ditampilkan = 13.38583.

Ditampilkan pula 95% Conf. Interval.

Apakah Ho: mean = 14 bisa di Accept?

Kita lihat bahwa 14, berada diluar range 95% Conf. Interval, sehingga:

Ho: mean = 14 reject

Konsekuensinya lawannya yaitu Ha: mean != 14, Accept.

Perhatikan nilai P(|T| > |t|) nya = 0.0037 < 0.05 sehingga ini significant, juga sama mengindikasikan Accept.

Lanjut.... Disini nih masalahnya... 

Bagaimana kalau kita mengasumsikan:

Ho <=4

atau

Ho >=4

Nah jadi masalah di Stata. Kita tidak bisa "memaksa" memasukkan nilai: Ho <=14, atau Ho >=14. 

Tapi wait... Stata cukup baik menampilkan 3 variasi Ha, dibagian bawah outputnya. Tiga variasi Ha ini bisa menghasilkan 3 case.

Jika Ha di ketiga case ini diketahui, tentu mudah buat kita membuat pasangan Ho nya, bukan?

Jika Ho terdefinisi, maka problematika yang kita hadapi diatas terjawab sudah.

Perhatikan kembali gambar berikut:

Terlihat bisa muncul 3 case disini. Penjelasannya sbb.

Case-1: 

Kita asumsukan Ha, sbb

Ha: mean !=14, maka tentu kita bisa buat lawannya, yaitu Ho nya.

Ho: mean = 14

Nah perhatikan di output Stata yang menyebutkan Ha: mean !=14 (bagian tengah / Case-1 di gambar). 

Case 1 ini mirip dengan pembahasan diatas. Cara menentukan siapa yang direject bisa dengan 2 cara:

1. Dengan melihat 95% Conf. Interval (seperti pembahasan diatas):

- Jika 14 masuk dalam interval --> Ho Reject

- Jika 14 diluar interval --> Ho Accept

Diatas tabel terlihat 14 diluar interval, maka Ho Reject

2. Cara lain yaitu dengan melihat di output Stata bagian Case-1

Ha: mean !=14, Pr nya 0.0037 < 0.5, maka Ha Accept, dengan kata lain konsekuensinya Ho Reject.

Kesimpulan case-1:

Ha: mean !=14, Accept

Ho: mean = 14 Reject

Case-2:

Bagaimana kalau kita berasumsi:

Ha: mean <14, maka kita tentu bisa buat lawannya yaitu Ho nya.

Ho: mean >= 14

Lihat di output Stata bagian Case-2.

Ha mean < 14, Pr nya 0.018 < 0.05, maka Ha Accept, artinya Ho Reject.

Catatan Ho disini adalah Ho: mean >= 14 (Ho case-2), bukan Ho = 14 (case-1)

Kesimpulan case-2:

Ha: mean < 14 Accept

Ho: mean >=14 Reject

Case-3:

Bagaimana kalau kita berasumsi:

Ha: mean > 14, maka kita tentu bisa buat lawannya yaitu Ho nya

Ho: mean <= 14

Lihat di output Stata (Case-3 di gambar).

Ha mean > 14, Pr nya 0.9982 > 0.05, maka Ha Reject, artinya Ho Accept.

Catatan Ho disini adalah Ho: mean <= 14 (Ho case-3) , bukan Ho = 14 (case-1)

Kesimpulan case-3:

Ha: mean > 14 Reject

Ho: mean <= 14 Accept

<eof>

Contoh Soal t-test dan z-test

Uji t-test dan z-test pada dasarnya adalah uji Hipotesis. Biasanya uji t-test dilakukan pada sample yang terbatas, kurang dari 30, sedangkan uji z-test dialkukan pada sample lebih dari 30.

Apa beda uji t-test dengan z-test?

Dari Stata kita jadi tahu bahwa z-test hanya digunakan jika variance atau standard deviasi dari populasi diketahui. 

Jika kita menggunakann z-test maka asumsinya Standar Deviasi populasi sudah diketahui. Jadi jika ada sample walau jumlahnya kecil akan tetapi 𝞼 diketahui, maka kita sebaiknya menggunakan z-test.

Akan tetapi kita juga tahu dari Central Teorm Limit, bahwa jika n > 30, maka kurva z dan kurva t akan berhimpit (nyaris sama). Sehingga jika n > 30, kita tetap bisa pakai z-test walau 𝞼 tidak diketahui. 𝞼 akan hampir sama nilainya dengan standard deviasi sample s.

Contoh Uji z-test

Sebuah mesin menghasilkan minuman sebanyak 80 ml per botol (𝛍 populasi). Seorang karyawan (peneliti) yakin bahwa mesin tersebut tidak menghasilkan sebanyak 80 ml per botol. Dia lalu mengambil 40 sampel (n). Dia ukur semua sample itu dan mendapatkan rata-rata 78ml (x-bar) dengan standar deviasi 2.5 (s sample).

Pertanyaan:

a. Buat H0

b. Dengan confident level 95%, apakah cukup bukti untuk menyatakan bahwa mesin tidak bekerja dengan benar?

Jawab:

a. Diketahui bahwa jumlah sample 40, maka akan dilakukan uji z (dalam hal ini 𝛔 dianggap sama dengan s karena sample sudah diatas 30).

H0, adalah status quo, yaitu 𝜇 = 80 ml

Ha, adalah lawannya, yaitu 𝜇 != 80 ml

b. Perhitungan z-value:

n = 40

x-bar = 78 ml

𝛔 = s = 2.5

alpha = 5%

z-critical = 1.96  (rumus excel: =NORMSINV(0.025) = 1.96 )

z-value = -5.06, berada area Reject H0, artinya H0 tertolak.

Interpretasi:

Dengan level confident 95%, asumsi bahwa rata-rata mesin menghasilkan 80ml per botol tertolak, artinya ada masalah pada mesin tsb.

Contoh Uji t-test

Sebuah perusahaan membuat bateray dengan lifetime 2 tahun atau lebih (𝛍 populasi). Seorang engineer peneliti merasa usia baterai kurang dari 2 tahun. Dia lalu mengambil 10 sample (n). Dia mendapatkan rata-rata dari sample tsb 1.8 tahun (x-bar) dengan standard deviasi 0.15 (s sample). 

Pertanyaan:

a. Buatlah hipotesis 0

b. Dengan confident level 99% apakah cukup bukti untuk mereject H0?

Jawab.

a. Karena jumlah sampel kurang dari 30, kita gunakan t-test (dan juga karena 𝛔 unknown).

H0, adalah status quo, yaitu 𝜇 >= 2 th (ONE TAIL)

Ha, adalah lawannya, yaitu 𝜇 < 2 th 

b. Perhingan t-value

n = 10

x-bar = 1.8 th

s = 0.15

alpha = 1%

t-critical = -2.82  (rumus excel: ==T.INV(0.01 , 9) = -2.82), df = 10 -1 = 9

t-value = -4.22, berada area Reject H0, artinya H0 tertolak.

Interpretasi:

Dengan level confident 99%, asumsi bahwa rata-rata lifetie baterai >= 2th ditolak, artinya ada masalah pada produksi bateray tsb, sehingga rata-rata lifetimenya < 2th.

LEBIH LANJUT DENGAN Z-TEST

Persyaratan t-test:

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Jika 𝛔 (standar deviasi populasi) diketahui dan sample > 30 maka gunakan z-test. Karena sample cukup besar maka jika  𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui bisa diganti dengan s (standar deviasi sample).

Note: Para peneliti lain menyatakan apabila 𝛔 diketahui, walaupun sample < 30, tetap menggunakan z-test.

Contoh soal: 𝛔 diketahui, tapi sample kecil

Nilai rata-rata satu sekolah adalah 75 (𝛍 populasi), dengan standar deviasi 10 (𝛔 populasi). Berapa probability random sample, 5 siswa (n) dengan nilai diatas 80 (x-bar).

Jawab:

Kita tahu bahwa syarat t-test harus terpenuhi dua syarat ini:

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Dalam konteks soal, 𝛔 (standar deviasi populasi) diketahui, maka t-test tidak digunakan. Walaupun sample kecil, karena 𝛔 diketahui kita tetap pakai z-test. 

Summary data:

𝜇 (mean population) = 75

𝛔 (standar deviasi populasi) = 10

n = 5

x-bar > 80

Rumus z-value

z-value  =  (80 - 75) / (10 / sqrt (5)) = 1.12

z-critical = NORMSDIST(1.12) = 86.86%

Sehingga probabilitas 5 siswa mendapatkan nilai > 80 adalah 100% - 86.86 = 13.14%

Contoh soal: 𝛔 tidak diketahui, tapi sample besar

Nilai rata-rata sebuah sekolah adalah 75 (𝛍 populasi). Standar deviasi untuk 40 random sample (n) adalah 10 (s). Berapa probabilitas nilai rata-rata sample (40 sample tadi) diatas 80 (x-bar)?

Syarat menggunakan t-test, terpehuni dua hal.

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Dalam konteks ini syarat pertama 𝛔 standar deviasi populasi tidak diketahui, artinya pakai t-test, dan sample besar. Karena salah satu tidak terpenuhi maka kita tetap pakai z-test. 

Summary data:

𝜇 (mean population) = 75

𝛔  = s (standard deviasi sample) =10

n = 40

x-bar > 80

Rumus z-value

z-value  =  (80 - 75) / (10 / sqrt (40)) = 3.16

z-critical = NORMSDIST(3.16) = 99.92%

Sehingga probabilitas 40 siswa mendapatkan nilai > 80 adalah 100% - 99.92 = 0.08%

Contoh soal: 𝛔 tidak diketahui, dan sample kecil

Nilai rata-rata sebuah sekolah adalah 75 (𝛍 populasi). Standar deviasi untuk 9 random sample (n) adalah 10 (s). Berapa probabilitas nilai rata-rata sample (9 sample tadi) diatas 80 (x-bar)?

Syarat menggunakan t-test, terpehuni dua hal.

1. 𝛔 (standar deviasi populasi) tidak diketahui

2. Jumlah sample < 30 

Dalam konteks ini kedua syarat terpenuhi, maka kita gunakan t-test.

Summary data:

𝜇 (mean population) = 75

s  (standar deviation sample) = 10

n = 9

x-bar > 80

Rumus t-value

t-value  =  (80 - 75) / (10 / sqrt (9)) = 1.5

t-critical = =T.DIST.RT(1.5,8) = 8.60%  -- RT = Right Tail

Sehingga probabilitas sample 9 siswa mendapatkan nilai > 80 adalah = 8.60%

<eof>